Ο Χένεσι πραγματοποίησε πάνω από 100 εμφανίσεις στο πρωτάθλημα για τη Γουλβς και την Κρίσταλ Πάλας, φτάνοντας στον τελικό του Κυπέλλου Αγγλίας το 2016 με την τελευταία. Ήταν στη Νότιγχαμ Φόρεστ την περασμένη σεζόν, αλλά δεν έκανε καμία εμφάνιση.
Γεννημένος στο Μπάνγκορ ήταν μέλος της ομάδας της Ουαλίας που έφτασε στα ημιτελικά του Euro το 2016, συμμετέχοντας επίσης στο Παγκόσμιο Κύπελλο του 2022. Έπαιξε τελευταία φορά για την Ουαλία τον Νοέμβριο του 2023 σε φιλικό αγώνα εναντίον του Γιβραλτάρ.
«Αποφάσισα να τερματίσω την καριέρα μου ως παίκτης, κοιτάζω πίσω με ευγνωμοσύνη και μπροστά με αισιοδοξία καθώς κάνω τα επόμενα βήματα στο ποδοσφαιρικό μου ταξίδι», δήλωσε ο Χένεσι.